

\section{列满秩矩阵、可逆矩阵的刻画}

\begin{definition}
    矩阵 $A$ 称为\emph{列满秩}，若其列向量组线性无关 (column independent matrix)。称 $A$ \emph{行满秩}，若其行向量组线性无关 (row independent matrix)，等价地，$A^{\rT}$ 列满秩。
\end{definition}

\begin{proposition}\label{0FA}
对 $A \in P^{m\times n}$, 下列等价：
\begin{enumerate}
  \item $A$ 列满秩；
\item  $\rank_c A= \rank_r A = \rank A = n$, 即 $A$ 的列秩、行秩和秩等于其列数；
\item  $A$ 有个可逆的 $n$ 阶子方阵；
\item  存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $A = Q\begin{pmatrix}
    E_n \\ 0
  \end{pmatrix}$（或者说$A$的行阶梯标准型为$\begin{pmatrix}
    E_n \\ 0
  \end{pmatrix}$）;
\item  $A$ 有左逆，即存在 $B$ 使得 $BA = E_n$;
\item  对任意的 $\beta \in P^{(m)}$, 线性方程组 $Ax = \beta$ 解至多唯一（即存在时必唯一）；
\item  对某个 $\beta\in P^{(m)}$, 线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解；
\item  齐次线性方程组 $Ax = 0$ 只有平凡解；
\item 线性映射$\varphi_A\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(m)}, x\mapsto Ax$为单射；
\item  若 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s \in P^{(n)}$ 线性无关，则 $A\beta_1, A\beta_2, \cdots, A\beta_s$ 线性无关；
\item  $A$ 可扩充成可逆矩阵 $\begin{pmatrix}
    A & C
  \end{pmatrix}$;
\item  对任意的 $\beta \in P^{(n)}$, 线性方程组 $A^{\rT} x = \beta$ 总有解。
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof} (1)$\Leftrightarrow$(9)我们会在下一讲命题~\ref{x-to-Ax-property}~中讲到。我们来证明(1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(4)$\Rightarrow$(5)$\Rightarrow$(6)$\Rightarrow$(7)$\Rightarrow$(8)$\Rightarrow$(10)$\Rightarrow$(1), (4)$\Rightarrow$(11)$\Rightarrow$(12)$\Rightarrow$(5). 

  (1)$\Rightarrow$(2). 我们知道秩等于行秩等于列秩。列满秩相当于说列秩等于其列数，从而等价于其秩和行秩等于其列数。

(2)$\Rightarrow$(3) 根据秩的定义我们知道 $A$ 有个 $n$ 阶子方阵的行列式非零。这个 $n$ 阶子方阵即为所求。

(3)$\Rightarrow$(4). 若 $A$ 有个 $n$ 阶子方阵可逆，那么通过几次交换两行可知存在可逆矩阵 $Q_1$ 使得 $Q_1 A = \begin{pmatrix}
A_1 \\A_2
\end{pmatrix}$, 其中 $A_1$ 是可逆矩阵。那么
\[
  Q_2Q_1A=\begin{pmatrix}
    A_1^{-1} \\ -A_2A_1^{-1} & E_{m-n}
  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
    A_1 \\ A_2
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    E_n \\ 0
  \end{pmatrix}, \quad \text{其中~}Q_2=\begin{pmatrix}
    A_1^{-1} \\ -A_2A_1^{-1} & E_{m-n}
  \end{pmatrix}.
\]
这样 $Q\coloneqq (Q_2Q_1)^{-1}$ 即为所要求。

(4)$\Rightarrow$(5). 若 $A = P\begin{pmatrix}
  E_n \\ 0
\end{pmatrix}$, 取 $B = \begin{pmatrix}
  E_n & 0
\end{pmatrix}P^{-1}$, 即有 $BA = E_n$.

(5)$\Rightarrow$(6). 若存在 $B$ 使得 $BA = I$, $Ax = \beta$ 有解时必有 $x=BAx = B\beta$.

(6)$\Rightarrow$(7). 取 $\beta = 0$.

(7)$\Rightarrow$(8). 假设 $Ax = 0$ 有非平凡解 $y$. 记 $Ax = \beta$ 的唯一解为 $x'$. 那么 $y+x'$ 是 $Ax = \beta$ 的不同于 $x'$ 的解，与$Ax = \beta$ 有唯一解矛盾。

(8)$\Rightarrow$(10). 记 $B = \begin{pmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s \end{pmatrix}$. 设 $ABy = 0$, 其中 $y\in P^{(s)}$. 由于 $Ax = 0$ 只有平凡解，有 $By= 0$. 而 $B$ 的
列向量组线性无关，故 $y = 0$. 从而 $AB$ 的列向量组线性无关，即 $A\beta_1, A\beta_2, \cdots, A\beta_s$ 线性无关。

(10)$\Rightarrow$(1). 注意到 $A$ 的第 $i$ 列等于 $Ae_i$. 取 $\beta_i = 𝑒_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) 即知 $A$ 列满秩。

(4)$\Rightarrow$(11). 若 $A = P\begin{pmatrix}
  E_n \\ 0
\end{pmatrix}$, 令 $C = P \begin{pmatrix}
  0 \\
  E_{m-n}
\end{pmatrix}$. 那么有
\[
  \begin{pmatrix}
    A & C
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    P 
    \begin{pmatrix}
      E_n \\ 0
    \end{pmatrix} & P
    \begin{pmatrix}
      0 \\ E_{m-n}
    \end{pmatrix}
  \end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}
    E_n & 0\\
    0 & E_{m-n}
  \end{pmatrix} = P
\]
是可逆矩阵。

(11)$\Rightarrow$(12). 设 $\begin{pmatrix}
  A & C
\end{pmatrix}$是可逆矩阵，则 $\begin{pmatrix}
  A^{\rT} \\ C^{\rT}
\end{pmatrix}$ 是可逆矩阵。这样线性方程组 $\begin{pmatrix}
  A^{\rT} \\ C^{\rT}
\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}
  \beta \\ 0
\end{pmatrix}$总有解，这个解也是 $A^{\rT} x = \beta$ 的解。

(12)$\Rightarrow$(5). 取 $\beta_i \in P^{(n)}$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) 使得 $A^{\rT} \beta_i = e_i$. 记 $B = \begin{pmatrix}
  \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n
\end{pmatrix}$. 那么 $A^{\rT} B = I$. 从而
$B^{\rT} A = I$.
\end{proof}

\begin{remark}
  特别要注意，$A$ 列满秩时 $Ax = \beta$ 可能无解。比如 $\begin{pmatrix}
    1 \\ 0
  \end{pmatrix}x_1 = \begin{pmatrix}
    1 \\ 2
  \end{pmatrix}$无解。
\end{remark}

通过转置，我们可以得到命题~\ref{0FA}~的行满秩版本。描述这个结果是作业。下面我趁这个机会把可逆矩阵的刻画集合到一起。
\begin{theorem}\label{0FE}
  对 $A \in P^{n\times n}$, 下列等价：
  \begin{enumerate}
    \item  $A$ 可逆；
    \item  $A$ 是一些初等矩阵的乘积；
    \item  $A$ 可通过行化简得到单位矩阵；
    \item  $\det A \neq 0$;
    \item  $A^{\rT}$ 可逆；
    \item  $A$ 行满秩；
    \item  $A$ 列满秩；
    \item  $A$ 满秩；
    \item  $A$ 有左逆，即存在 $B$ 使得 $BA = E_n$;
    \item  $A$ 有右逆，即存在 $B$ 使得 $AB = E_n$;
    \item  对任意的 $\beta \in P^{(n)}$, 线性方程组 $AX = \beta$ 有唯一解；
    \item  对某个 $\beta \in P^{(n)}$, 线性方程组 $AX = \beta$ 有唯一解；
    \item  齐次线性方程组 $AX = 0$ 只有平凡解；
    \item  若 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s \in P^{(n)}$ 线性无关，则 $A\beta_1$, $A\beta_2$, $\cdots$, $A\beta_s$ 线性无关；
    \item  对任意 $\beta \in P^{(n)}$, 线性方程组 $Ax = \beta$ 总有解；
    \item 线性映射$\varphi_A\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(n)}, x\mapsto Ax$是满射；
    \item 线性映射$\varphi_A\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(n)}, x\mapsto Ax$是单射；
    \item 线性映射$\varphi_A\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(n)}, x\mapsto Ax$是双射。
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
    (1)$\Leftrightarrow$(2)$\Leftrightarrow$(3)$\Leftrightarrow$(11)$\Leftrightarrow$(12)$\Leftrightarrow$(13)是命题~\ref{invertible-matrix-characterization-solution}.
    (1)$\Leftrightarrow$(9)$\Leftrightarrow$(10)是命题~\ref{inverse-matrix-left-right}.
    (1)$\Leftrightarrow$(5)包含在命题~\ref{transpose-property}~中。 
    (1)$\Leftrightarrow$(4)是命题~\ref{invertible-matrix-characterization-det}.
    (1)$\Leftrightarrow$(8)是命题~\ref{full-rank-invertible}, 
    进而由行秩、列秩、秩相等知(1)$\Leftrightarrow$(8)$\Leftrightarrow$(6)$\Leftrightarrow$(7).
    (1)$\Leftrightarrow$(14)$\Leftrightarrow$(15)由命题~\ref{0FA}~可得。
    (1)$\Leftrightarrow$(6)$\Leftrightarrow$(7)和下一讲中的命题~\ref{x-to-Ax-property}~一起表明(1)$\Leftrightarrow$(16)$\Leftrightarrow$(17)$\Leftrightarrow$(18). 
\end{proof}

\begin{remark}
  我们讲向量空间时会再加一条：
  \begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{18}
  \item  \textit{存在常数项非零的形式多项式 $f(x) \in P[x]$ 使得 $f(A) = 0$.}
  \end{enumerate}
我们讲特征值和特征多项式后还会加一条：
  \begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{19}
  \item  \textit{$0$ 不是 $A$ 的特征值。}
  \end{enumerate}
\end{remark}

